Přeskočit na obsah

Derivace množiny

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Derivace množiny v topologickém prostoru je v obecné topologii (odvětví matematiky) množina všech limitních bodů množiny Obvykle se značí

Derivaci množiny zavedl v roce 1872 Georg Cantor, který rozvinul teorii množin především pro studium derivovaných množin na reálné ose.

Příklady

[editovat | editovat zdroj]

Intuitivní: Na množině všech reálných čísel s její obvyklou eukleidovskou topologií je derivací polootevřeného intervalu uzavřený interval

Neintuitivní: Uvažujme s topologií tvořenou prázdnou množinou a jakoukoli podmnožinou která obsahuje 1 (což je hodně neintuitivní pojetí otevřených množin). Derivace množiny je [1]

Vlastnosti

[editovat | editovat zdroj]

Pokud a jsou libovolné podmnožiny topologického prostoru pak derivace má následující vlastnosti:[2]

Podmnožina topologického prostoru je uzavřená právě tehdy, když [1], neboli když obsahuje všechny své limitní body. Pro jakoukoli podmnožinu je množina uzavřená a je rovna uzávěru množiny (tj. množině ).[3]

Derivace podmnožiny prostoru obecně nemusí být uzavřená. Pokud vezmeme například s triviální topologií, množina má derivaci která v není uzavřená. Derivace uzavřené množiny je však vždy uzavřená. (Důkaz: Předpokládejme, že je uzavřená podmnožina což znamená, že Aplikací derivace na obě strany dostaneme takže je uzavřená v ) Pokud je navíc T1 prostor, pak derivace každé podmnožiny je uzavřená v [4][5]

Dvě podmnožiny a jsou oddělené právě tehdy, když jsou disjunktní a každá z nich je disjunktní s derivací druhé (derivace množin vzájemně disjunktní být nemusí). Tato podmínka se často zapisuje pomocí uzávěrů:

a nazývá se Hausdorffova-Lennesova oddělovací podmínka.[6]

Bijekce mezi dvěma topologickými prostory je homeomorfismem právě tehdy, když derivace obrazu (v druhém prostoru) jakékoli podmnožiny prvního prostoru je stejná jako obraz derivace této podmnožiny.[7]

Prostor je T1 prostor, pokud každá množina obsahující pouze jeden bod je uzavřená.[8] V T1 prostoru je derivace jednoprvkové množiny vždy prázdná (prostor ve druhém příkladě není T1 prostor). Z toho plyne, že v T1 prostorech je derivace jakékoli konečné množiny prázdná, a že pro jakoukoli podmnožinu a jakýkoli bod prostoru platí

Jinými slovy, derivace se nezmění, pokud výchozí množinu změníme přidáním nebo odstraněním konečného počtu bodů.[9] Je možné také ukázat, že v T1 prostoru platí pro jakoukoli podmnožinu [10]

Množina taková, že se nazývá hustá v sobě a nemůže obsahovat žádné izolované body. Množina taková, že se nazývá dokonalá.[11] Dokonalá množina je tedy uzavřená a hustá v sobě, neboli jinak řečeno, je to uzavřená množina bez izolovaných bodů. Dokonalé množiny jsou obzvláště důležité při aplikaci Baireovy věty o kategoriích.

Cantorova–Bendixsonova věta říká, že jakýkoli polský prostor lze zapsat jako sjednocení spočetné množiny a dokonalé množiny. Protože jakákoli Gδ podmnožina polského prostoru je opět polský prostor, z této věty také plyne, že jakákoli Gδ podmnožina polského prostoru je sjednocením spočetné množiny a množiny, které je dokonalá vzhledem k indukované topologii.

Topologie definovaná pomocí derivovaných množin

[editovat | editovat zdroj]

Protože homeomorfismy lze úplně popsat pomocí derivovaných množin, byly derivované množiny v topologii používány jako primitivní pojem. Množině bodů lze přiřadit operátor který zobrazuje podmnožiny na podmnožiny tak, že pro jakoukoli množinu a jakýkoli bod platí:

  1. implikuje
  2. implikuje

Množinu nazveme uzavřenou, pokud definuje topologii na prostoru, ve kterém je operátorem derivace, tj.

Cantorova–Bendixsonova hodnost

[editovat | editovat zdroj]

Pro libovolné ordinální číslo definujeme -tou Cantorovu–Bendixsonovu derivaci topologického prostoru opakovanou aplikací operace derivace pomocí transfinitní indukce takto:

  • pro limitní ordinály

Transfinitní posloupnost Cantorových–Bendixsonových derivací musí být od jistého bodu konstantní. Nejmenší ordinál takový, že se nazývá Cantorův–Bendixsonův stupeň

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Derived set (mathematics) na anglické Wikipedii.

Literatura

[editovat | editovat zdroj]

Související články

[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy

[editovat | editovat zdroj]
  • Tento článek obsahuje materiál ze stránky Cantor–Bendixson derivative na PlanetMath, jejíž licence umožňuje dále šířit publikované texty.